--- title: RSA --- http://inaz2.hatenablog.com/entry/2013/11/27/225953 ``` openssl genrsa 32 > key.pem openssl rsa -text < key.pem ``` ``` modulus: 2608173289 (0x9b7590e9) publicExponent: 65537 (0x10001) privateExponent: 1888610089 (0x7091e729) prime1: 52223 (0xcbff) prime2: 49943 (0xc317) exponent1: 1459 (0x5b3) exponent2: 3417 (0xd59) coefficient: 17568 (0x44a0) ``` $$\text{modulus} = (\text{prime1} - 1) \cdot (\text{prime2} - 1)$$ publicExponent は modulus とお互いに素な数から選ぶ。65537 で固定、なぜなら二進数で 10000000000000001 となり、ビットがあまり立っておらず計算が早いため。 privateExponent は $\text{publicExponent}^{-1}\ \text{mod}\ \text{modulus}$ ## 中国の余剰定理 [定理の詳細](https://ja.wikipedia.org/wiki/中国の剰余定理) $$ \text{exponent1} = \text{privateExponent} \pmod{\text{prime1} - 1} $$ $$ \text{exponent2} = \text{privateExponent} \pmod{\text{prime2} - 1} $$ $$ \text{coefficient} = \text{prime2}^{-1} \pmod{\text{prime1}} $$ これらは復号の簡単化のために用意された係数である。 ## 公開鍵の中身 ``` openssl rsa -pubout < key.pem > pub.pem openssl rsa -text -pubin < pub.pem ``` ``` Modulus: 2608173289 (0x9b7590e9) Exponent: 65537 (0x10001) ``` ## 暗号 $ \text{source}^\text{publicExponent} \pmod{\text{modulus}} = \text{encryptedText} $ ## 復号 $ \text{encryptedText}^\text{privateExponent} \mod \text{modulus} $ # Diffie-Helmann 鍵共有 ## 一方向性関数 $ \mathrm{G}^x \mod \mathrm{P} = y $ 右辺を求めるのは簡単だが、余り$y$から$x$を求めるのは難しい。 この性質を利用して、$x$に秘密情報を与えて交換することで第三者による復号を防げる。 A は$G^A \mod P$を B に送信 →$(G^A \mod P)^B \mod P = (G^{A \cdot B}) \mod P$ B は$G^B \mod P$を A に送信 →$ (G^B \mod P)^A \mod P = (G^{B \cdot A}) \mod P$ 以下の法則を使用しているため、お互いに同一の結果を得られる。 $ (G^A)^B = G^{A \cdot B}$