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2021-05-01 02:19:10 +09:00

2.0 KiB

title
RSA

http://inaz2.hatenablog.com/entry/2013/11/27/225953

openssl genrsa 32 > key.pem
openssl rsa -text < key.pem
modulus: 2608173289 (0x9b7590e9)
publicExponent: 65537 (0x10001)
privateExponent: 1888610089 (0x7091e729)
prime1: 52223 (0xcbff)
prime2: 49943 (0xc317)
exponent1: 1459 (0x5b3)
exponent2: 3417 (0xd59)
coefficient: 17568 (0x44a0)
\text{modulus} = (\text{prime1} - 1) \cdot (\text{prime2} - 1)

publicExponent は modulus とお互いに素な数から選ぶ。65537 で固定、なぜなら二進数で 10000000000000001 となり、ビットがあまり立っておらず計算が早いため。

privateExponent は \text{publicExponent}^{-1}\ \text{mod}\ \text{modulus}

中国の余剰定理

定理の詳細


\text{exponent1} = \text{privateExponent} \pmod{\text{prime1} - 1}

\text{exponent2} = \text{privateExponent} \pmod{\text{prime2} - 1}
\text{coefficient} = \text{prime2}^{-1} \pmod{\text{prime1}}

これらは復号の簡単化のために用意された係数である。

公開鍵の中身

openssl rsa -pubout < key.pem > pub.pem
openssl rsa -text -pubin < pub.pem
Modulus: 2608173289 (0x9b7590e9)
Exponent: 65537 (0x10001)

暗号

\text{source}^\text{publicExponent} \pmod{\text{modulus}} = \text{encryptedText}

復号

\text{encryptedText}^\text{privateExponent} \mod \text{modulus}

Diffie-Helmann 鍵共有

一方向性関数

\mathrm{G}^x \mod \mathrm{P} = y

右辺を求めるのは簡単だが、余り$y$から$x$を求めるのは難しい。

この性質を利用して、$x$に秘密情報を与えて交換することで第三者による復号を防げる。

A は$G^A \mod P$を B に送信 →(G^A \mod P)^B \mod P = (G^{A \cdot B}) \mod P

B は$G^B \mod P$を A に送信 → (G^B \mod P)^A \mod P = (G^{B \cdot A}) \mod P

以下の法則を使用しているため、お互いに同一の結果を得られる。

(G^A)^B = G^{A \cdot B}