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title: RSA
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http://inaz2.hatenablog.com/entry/2013/11/27/225953
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openssl genrsa 32 > key.pem
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openssl rsa -text < key.pem
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modulus: 2608173289 (0x9b7590e9)
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publicExponent: 65537 (0x10001)
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privateExponent: 1888610089 (0x7091e729)
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prime1: 52223 (0xcbff)
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prime2: 49943 (0xc317)
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exponent1: 1459 (0x5b3)
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exponent2: 3417 (0xd59)
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coefficient: 17568 (0x44a0)
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```
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$$\text{modulus} = \text{prime1} \cdot \text{prime2}$$
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publicExponent は $(\text{prime1} - 1)(\text{prime2} - 1)$ とお互いに素な数から選ぶ。65537 で固定、なぜなら二進数で 10000000000000001 となり、ビットがあまり立っておらず計算が早いため。
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privateExponent は $\text{publicExponent}^{-1} \text{mod} (\text{prime1} - 1)(\text{prime2} - 1)$
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## 中国の余剰定理
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[定理の詳細](https://ja.wikipedia.org/wiki/中国の剰余定理)
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$$\text{exponent1} = \text{privateExponent} \pmod{\text{prime1} - 1}$$
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$\text{exponent2} = \text{privateExponent} \pmod{\text{prime2} - 1} $
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$ \text{coefficient} = \text{prime2}^{-1} \pmod{\text{prime1}} $
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これらは復号の簡単化のために用意された係数である。
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## 公開鍵の中身
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openssl rsa -pubout < key.pem > pub.pem
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openssl rsa -text -pubin < pub.pem
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```
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```
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Modulus: 2608173289 (0x9b7590e9)
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Exponent: 65537 (0x10001)
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## 暗号
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$ \text{source}^\text{publicExponent} \pmod{\text{modulus}} = \text{encryptedText} $
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## 復号
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$ \text{encryptedText}^\text{privateExponent} \mod \text{modulus} $
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# Diffie-Helmann 鍵共有
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## 一方向性関数
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$ \mathrm{G}^x \mod \mathrm{P} = y $
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右辺を求めるのは簡単だが、余り$y$から$x$を求めるのは難しい。
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この性質を利用して、$x$に秘密情報を与えて交換することで第三者による復号を防げる。
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A は$G^A \mod P$を B に送信
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→$(G^A \mod P)^B \mod P = (G^{A \cdot B}) \mod P$
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B は$G^B \mod P$を A に送信
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→$ (G^B \mod P)^A \mod P = (G^{B \cdot A}) \mod P$
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以下の法則を使用しているため、お互いに同一の結果を得られる。
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$ (G^A)^B = G^{A \cdot B}$
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